Pole i bok BC z dwóch boków i kąta między nimi
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=8√(2), |AC|=8√(2) oraz |∠ CAB|=60°.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: wzór na pole z sinusem i twierdzenie cosinusów
- Kąt 60° leży między bokami AB i AC - to układ bok-kąt-bok, w którym pole liczymy ze wzoru z sinusem, a trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Obie wartości korzystają z tych samych danych, ale liczy się je niezależnie.
- Krok 1. Dane
- Znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi.
- |AB| = #DFC173 8√(2), |AC| = #DFC173 8√(2), |∠ CAB| = 60°
- Krok 2A. Pole trójkąta
- wzór z sinusem kąta między bokami
- P = 1/2 · |AB| · |AC| · α
- wstawiamy długości obu boków i miarę kąta między nimi
- P = 1/2 · #DFC173 8√(2) · #DFC173 8√(2) · 60°
- wartość sinusa kąta 60 stopni odczytujemy z tablicy funkcji trygonometrycznych
- P = 1/2 · #E53A3A 8√(2) · 8√(2) · √(3)/2
- pierwiastek razy taki sam pierwiastek daje liczbę podpierwiastkową, czyli 2
- P = 128 √(3) 4
- licznik i mianownik dzielimy przez ich największy wspólny dzielnik, czyli 4
- P = 32√(3)
- Krok 2B. Twierdzenie cosinusów
- bok BC leży naprzeciw danego kąta
- |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 · |AB| · |AC| · α
- twierdzenie cosinusów wiąże bok leżący naprzeciw kąta z dwoma pozostałymi bokami
- |BC|^2 = ( #DFC173 8√(2))^2 + ( #DFC173 8√(2))^2 - 2 · #DFC173 8√(2) · #DFC173 8√(2) · 60°
- kwadrat iloczynu liczby i pierwiastka: współczynnik podnosimy do kwadratu, a pierwiastek zastępujemy liczbą podpierwiastkową 2
- |BC|^2 = 128 + 128 - 2 · 8√(2) · 8√(2) · 60°
- cosinus kąta ostrego 60 stopni jest dodatni i równy jednej drugiej
- |BC|^2 = 128 + 128 - #E53A3A 2 · 8√(2) · 8√(2) · 1/2
- podwojony cosinus 60 stopni daje jeden, więc od sumy kwadratów odejmujemy sam iloczyn boków
- |BC|^2 = 128 + 128 - 128
- dodajemy i odejmujemy liczby, zostaje kwadrat szukanego boku
- |BC|^2 = 128
- Krok 3. Odpowiedzi
- P = 32√(3) |BC|^2 = 128
- długość boku jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny z kwadratu
- |BC| = 8√(2) = 8√(2)
- pierwiastek zapisujemy w postaci najprostszej
- P = 32√(3) |BC| = 8√(2)