Przybliż rozkład Poissonem
Serwerownia działa na 150 dyskach, które pracują niezależnie. Prawdopodobieństwo awarii pojedynczego dysku w ciągu roku wynosi 4%. (a) Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że liczba sprawnych dysków wyniesie co najwyżej 142. (b) Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że liczba sprawnych dysków będzie wynosić co najmniej 139 i co najwyżej 146. (c) Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą m, dla której przybliżone prawdopodobieństwo, że liczba uszkodzonych dysków nie przekroczy m, wynosi co najmniej 0, 90. (d) Wyznacz odchylenie standardowe liczby uszkodzonych dysków. Tablica dystrybuanty rozkładu Poissona, F(k) = P(X ≤ k) dla = 6: array c|cccccccc k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 F(k) & 0, 0025 & 0, 0174 & 0, 0620 & 0, 1512 & 0, 2851 & 0, 4457 & 0, 6063 & 0, 7440 array array c|ccccccc k & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 F(k) & 0, 8472 & 0, 9161 & 0, 9574 & 0, 9799 & 0, 9912 & 0, 9964 & 0, 9986 array
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Aproksymacja Poissona z tablic dystrybuanty
- Model
- n duże, p małe, więc X ma w przybliżeniu rozkład Poissona
- X B( 150; #DFC173 0, 04), = np = 6
- Podpunkt (a)
- P(X ≥ 8)
- zdarzenie z treści zapisane przez liczbę X i policzone w przybliżeniu Poissona
- 1 - F(7) = 1 - 0, 7440
- wartości dystrybuanty F odczytane z tablic rozkładu Poissona
- 0, 2560
- Podpunkt (b)
- P(4 ≤ X ≤ 11)
- prawdopodobieństwo przedziału to różnica wartości dystrybuanty
- F(11) - F(3) = 0, 9799 - 0, 1512
- wartości F z tablic rozkładu Poissona
- 0, 8287
- Podpunkt (c)
- F(8) = 0, 8472 #E53A3A
- szukamy najmniejszego m z F(m) ≥ 0, 90; poziom jeszcze nieosiągnięty
- F(9) = 0, 9161 ≥ 0, 90
- pierwsza wartość spełniająca warunek
- m = 9
- Podpunkt (d)
- odchylenie standardowe rozkładu B(n; p)
- D^2 X = 6 · 0, 96 = 5, 76
- odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji
- (X) = 5, 76 ≈ 2, 400
Dla małego p przybliżenie Poissona jest dokładniejsze niż przybliżenie rozkładem normalnym (twierdzenie de Moivre'a i Laplace'a), które wymaga dużej wartości npq.
Częsta pomyłka: mylenie P(X > k) z P(X ≥ k). Pierwsze to 1 - F(k), drugie 1 - F(k-1).