Oblicz punkty wspólne okręgów
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi O _1 oraz O _2 o równaniach: - O _1: (x + 6)^2 + (y + 5)^2 = 5 - O _2: (x + 12)^2 + (y + 8)^2 = 50 Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną większą niż punkt B. Punkt M leży na prostej AB, punkt A leży między punktami B i M, oraz |BM|: |MA| = 3: 1. Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: oś potęgowa i warunek wektorowy
- Odjęcie równań działa tylko wtedy, gdy w obu współczynniki przy x^2 i y^2 są równe 1: dopiero wtedy wyrazy z drugimi potęgami redukują się bez śladu.
- Postać ogólna obu okręgów
- x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
- O _1: (x + 6)^2 + (y + 5)^2 = 5
- kwadraty dwumianów rozwijamy i przenosimy wszystko na lewą stronę
- O _1: x^2 + y^2 + 12x + 10y + 56 = 0
- drugi okrąg zapisujemy w tej samej postaci
- O _2: (x + 12)^2 + (y + 8)^2 = 50
- współczynniki przy pierwszych potęgach to podwojone współrzędne środka ze zmienionym znakiem
- O _2: x^2 + y^2 + 24x + 16y + 158 = 0
- Prosta przez oba punkty wspólne
- różnica równań obu okręgów
- ≤ft(x^2 + y^2 + 12x + 10y + 56) - ≤ft(x^2 + y^2 + 24x + 16y + 158) = 0
- wyrazy z drugimi potęgami są w obu równaniach identyczne, więc się redukują i zostaje równanie liniowe
- -12x - 6y - 102 = 0
- dzielimy obie strony przez wspólny czynnik, żeby dostać najprostszą postać równania
- 2x + y + 17 = 0
- Punkty A i B
- podstawienie prostej do równania O _1
- y = -2x - 17
- z równania prostej wyznaczamy jedną zmienną i wstawiamy ją do równania pierwszego okręgu
- (x + 6)^2 + ≤ft(-2x - 17 + 5)^2 = 5
- zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
- x^2 + 12x + 35 = 0
- liczymy wyróżnik
- = ≤ft(12)^2 - 4 · 1 · ≤ft(35) = 4
- wyróżnik jest kwadratem liczby całkowitej, więc oba pierwiastki są wymierne
- x = -12 ± 2 2
- dwa pierwiastki to współrzędne obu punktów przecięcia
- x = -5 lub x = -7
- każdą wartość wstawiamy do równania prostej i dostajemy drugą współrzędną; punktem A jest ten, który ma pierwszą współrzędną większą niż punkt B
- A = ≤ft(-5, -7) B = ≤ft(-7, -3)
- Punkt M z warunku wektorowego
- BM = 3 · AM
- warunek z treści zapisujemy przez same punkty, bo wektor to różnica końca i początku
- M - B = 3 · ≤ft(M - A)
- wyrazy z M zbieramy po jednej stronie i dzielimy przez współczynnik, który przy nich powstał
- M = -B + 3A 2
- obie współrzędne liczymy osobno tym samym wzorem
- M = ≤ft(-4, -9)
Zamiana punktów A i B. Kryterium z treści rozstrzyga, który punkt przecięcia jest A (tutaj: pierwszą współrzędną większą niż punkt B). Wzór na M nie jest symetryczny, więc pomylenie punktów daje inny punkt M. Brak podzielenia przez wspólny czynnik po odjęciu równań. Równanie -12x - 6y - 102 = 0 opisuje tę samą prostą, ale w kluczu oczekiwana jest postać skrócona 2x + y + 17 = 0.