Oblicz punkty wspólne okręgów

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi O _1 oraz O _2 o równaniach: - O _1 : (x + 6)^2 + (y + 5)^2 = 5 - O _2 : (x + 12)^2 + (y + 8)^2 = 50 Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B . Punkt A ma pierwszą współrzędną większą niż punkt B . Punkt M leży na prostej AB , punkt A leży między punktami B i M , oraz |BM| : |MA| = 3 : 1 . Oblicz współrzędne punktów A , B oraz M .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: oś potęgowa i warunek wektorowy

  1. Odjęcie równań działa tylko wtedy, gdy w obu współczynniki przy x^2 i y^2 są równe 1: dopiero wtedy wyrazy z drugimi potęgami redukują się bez śladu.
  2. Postać ogólna obu okręgów
  3. x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
  4. O _1: (x + 6)^2 + (y + 5)^2 = 5
  5. kwadraty dwumianów rozwijamy i przenosimy wszystko na lewą stronę
  6. O _1: x^2 + y^2 + 12x + 10y + 56 = 0
  7. drugi okrąg zapisujemy w tej samej postaci
  8. O _2: (x + 12)^2 + (y + 8)^2 = 50
  9. współczynniki przy pierwszych potęgach to podwojone współrzędne środka ze zmienionym znakiem
  10. O _2: x^2 + y^2 + 24x + 16y + 158 = 0
  11. Prosta przez oba punkty wspólne
  12. różnica równań obu okręgów
  13. (x^2 + y^2 + 12x + 10y + 56 ) - (x^2 + y^2 + 24x + 16y + 158 ) = 0
  14. wyrazy z drugimi potęgami są w obu równaniach identyczne, więc się redukują i zostaje równanie liniowe
  15. -12x - 6y - 102 = 0
  16. dzielimy obie strony przez wspólny czynnik, żeby dostać najprostszą postać równania
  17. 2x + y + 17 = 0
  18. Punkty A i B
  19. podstawienie prostej do równania O _1
  20. y = -2x - 17
  21. z równania prostej wyznaczamy jedną zmienną i wstawiamy ją do równania pierwszego okręgu
  22. (x + 6)^2 + (-2x - 17 + 5 )^2 = 5
  23. zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
  24. x^2 + 12x + 35 = 0
  25. liczymy wyróżnik
  26. = (12 )^2 - 4 1 (35 ) = 4
  27. wyróżnik jest kwadratem liczby całkowitej, więc oba pierwiastki są wymierne
  28. x = -12 2 2
  29. dwa pierwiastki to współrzędne obu punktów przecięcia
  30. x = -5 lub x = -7
  31. każdą wartość wstawiamy do równania prostej i dostajemy drugą współrzędną; punktem A jest ten, który ma pierwszą współrzędną większą niż punkt B
  32. A = (-5, -7 ) B = (-7, -3 )
  33. Punkt M z warunku wektorowego
  34. BM = 3 AM
  35. warunek z treści zapisujemy przez same punkty, bo wektor to różnica końca i początku
  36. M - B = 3 (M - A )
  37. wyrazy z M zbieramy po jednej stronie i dzielimy przez współczynnik, który przy nich powstał
  38. M = -B + 3A 2
  39. obie współrzędne liczymy osobno tym samym wzorem
  40. M = (-4, -9 )

Zamiana punktów A i B . Kryterium z treści rozstrzyga, który punkt przecięcia jest A (tutaj: pierwszą współrzędną większą niż punkt B ). Wzór na M nie jest symetryczny, więc pomylenie punktów daje inny punkt M . Brak podzielenia przez wspólny czynnik po odjęciu równań. Równanie -12x - 6y - 102 = 0 opisuje tę samą prostą, ale w kluczu oczekiwana jest postać skrócona 2x + y + 17 = 0 .