Wyznacz wielomian ze stycznej

Wielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c , gdzie a, b, c R . Do wykresu tego wielomianu należy punkt A = (3, -4) . W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) styczna do wykresu wielomianu f w punkcie A przecina ten wykres w punkcie P = (-3, 8) . Wyznacz wzór wielomianu f .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: styczna z dwóch punktów

  1. Dane
  2. punkt styczności i punkt przecięcia
  3. A = (3, -4) P = (-3, 8)
  4. Wzór stycznej
  5. m = 8 - (-4) (-3) - 3
  6. oba punkty leżą na stycznej, więc jej współczynnik kierunkowy to iloraz różnic współrzędnych
  7. m = 12 -6 = -2
  8. styczna przechodzi przez punkt A , więc wystarczy postać kierunkowa z tym punktem
  9. t(x) = -2(x - 3) - 4
  10. Rozkład różnicy
  11. f(x) - t(x) = (x - x_A)^2(x - x_P)
  12. styczność w punkcie A daje pierwiastek podwójny, przecięcie w punkcie P pierwiastek pojedynczy, a współczynnik przy x^3 nie zmienia się po odjęciu funkcji liniowej
  13. f(x) - t(x) = (x - 3)^2(x + 3)
  14. Wzór wielomianu
  15. f(x) = (x - 3)^2(x + 3) - 2(x - 3) - 4
  16. do rozkładu różnicy wracamy z dodanym wzorem stycznej
  17. f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27 - 2(x - 3) - 4
  18. styczna zmienia tylko współczynnik przy x oraz wyraz wolny
  19. f(x) = x^3 - 3x^2 - 11x + 29

Sprawdzenie: f(3) = -4 , f'(3) = -2 oraz f(-3) = 8 .