Przekrój ostrosłupa: trapez

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 9 2 . Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną , która: - jest prostopadła do ściany bocznej BCS ostrosłupa, - przechodzi przez środek K krawędzi AB oraz środek L krawędzi CD , - przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną BS w punkcie N , - tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 45^ . Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę jest trapezem równoramiennym. Oblicz pole trapezu KLMN .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Przekrój osiowy: krok po kroku

  1. Kąt nachylenia ściany bocznej
  2. + 45^ = 90^
  3. płaszczyzna i ściana BCS są prostopadłe do przekroju osiowego ostrosłupa, więc kąt między nimi widać między ich śladami w tym przekroju - prostopadłość do ściany oznacza, że i 45^ dopełniają się do 90^
  4. = 45^
  5. Krawędź podstawy i wysokość
  6. tg , = H a 2 ; ; H = a 2 , tg ,45^ = #E53A3A a 2
  7. wysokość H , odcinek od środka podstawy do środka krawędzi (długość a 2 ) i kąt tworzą trójkąt prostokątny; podstawiając H wyrażamy daną wielkość przez samo a
  8. V = a^3 6 = #DFC173 9 2
  9. przyrównujemy wyrażenie do wartości podanej w treści zadania
  10. a = 3 , H = 3 2
  11. Położenie punktów M, N i odcinek MN
  12. s = |CM| |CS| : s ,H = a 2 (1-s) , tg ,45^
  13. lewa strona to wysokość punktu M nad podstawą (ułamek s drogi po krawędzi CS ), prawa - wysokość płaszczyzny nad tym samym punktem podstawy; M leży w obu, więc są równe
  14. s , tg ,45^ = (1-s) , tg ,45^ ; ; s = 1 2
  15. przekrój ostrosłupa na ułamku s wysokości jest kwadratem o boku a(1-s) , a MN jest bokiem tego kwadratu
  16. |MN| = 3 1 2 = 3 2
  17. Wysokość trapezu
  18. h = a 2 (1-s) 45^
  19. rzut wysokości trapezu na podstawę łączy środek KL z rzutem środka MN i ma długość a 2 (1-s) , a sama wysokość leży w płaszczyźnie nachylonej pod kątem 45^
  20. h = 3 4 2 2 = 3 2 4
  21. Pole trapezu
  22. P = |KL| + |MN| 2 h
  23. KL i MN to podstawy trapezu, przy czym |KL| = a
  24. P = 3 + 3 2 2 3 2 4 = 27 2 16

Odcinek KM o długości 3 11 4 to przekątna trapezu, nie ramię - licząc odległości punktów w przestrzeni łatwo je pomylić (ramiona to LM i NK ).